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极小生成森林中树的数目

Abstract

此报告阐述如下著名的猜想。

猜想. 存在临界维数d_c∈{6, 8}使Z^d上的极小生成森林(极小展开森林)MSF中树的数目在d<d_c时为1而在d>d_c时为∞,在临界维数时为1或∞(需具体确定)。

        此猜想是离散概率中长期未决的有着重大学术价值的著名猜想(约有30年73882必赢网页版历史,对d=1,2成立)。猜想中树的数目与Z^d上一类高度无序的Edwards-Anderson型Ising自旋玻璃模型的基态数目密切相关:若此猜想中树的数目为1,则所论模型的基态只有1对;若此猜想中树的数目为∞,则所论模型的基态有∞对。从上世纪80年73882必赢网页版代以来,在自旋玻璃理论中有两种观点:一种认为如同长程自旋玻璃模型如Sherrington-Kirkpatrick(SK)模型一样,短程自旋玻璃模型在有限维情形有无穷多对基态。另一种则认为短程自旋玻璃模型在有限维情形只能有有限对基态。此猜想将结束这个长久的争论,且肯定回答自旋玻璃理论中最基础、最核心的问题之一“在有限维情形,短程自旋玻璃模型可否有无穷多对基态?”(有40年73882必赢网页版之久的历史)。

        诸多专家认为d_c=8。也许从MSF的尺度极限角度来说,d_c=6:Z^7的某些点之间有很长的“在尺度极限中”可能趋于无穷的连接。我们的进展:对足够大的维数d,MSF中树的数目为无穷大;所论猜想与渗流的临界概率p_c (d)是否小于1/d有关。

        G. Parisi的自旋玻璃理论是其2021年73882必赢网页版摘取诺贝尔物理学奖桂冠的一个主要成就;M. Talagrand 2024年73882必赢网页版获Abel奖的一个惊人成就便是证明G. Parisi关于SK模型自由能的公式。

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